在FRM一級(jí)考試中，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是較為重要的考點(diǎn)，考生在備考中一定要熟練掌握。在計(jì)算題中，BS定價(jià)公式是需要熟記的。>>>點(diǎn)擊領(lǐng)取2020FRM備考資料大禮包（戳我免費(fèi)領(lǐng)取）

期權(quán)定價(jià)模型由布萊克與斯科爾斯在20世紀(jì)70年代提出(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model)。該模型認(rèn)為，只有股價(jià)的當(dāng)前值與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史與演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)不相關(guān)。【資料下載】點(diǎn)擊下載融躍教育FRM考試公示表

期權(quán)定價(jià)模型基于對(duì)沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標(biāo)的股票的組合來(lái)保證確定報(bào)酬。在均衡時(shí)，此確定報(bào)酬必須得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。期權(quán)的這一定價(jià)思想與無(wú)套利定價(jià)的思想是一致的。

B-S-M定價(jià)公式

C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

其中:

d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)

d2=d1-σ·√T

C—期權(quán)初始合理價(jià)格

X—期權(quán)執(zhí)行價(jià)格

S—所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)

T—期權(quán)有效期

r—連續(xù)復(fù)利計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

σ—股票連續(xù)復(fù)利(對(duì)數(shù))回報(bào)率的年度波動(dòng)率(標(biāo)準(zhǔn)差)

N(d1)，N(d2)—正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，在此應(yīng)當(dāng)說(shuō)明兩點(diǎn)：

第一，該模型中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個(gè)簡(jiǎn)單的或不連續(xù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(設(shè)為r0)一般是一年計(jì)息一次，而r要求為連續(xù)復(fù)利利率。r0必須轉(zhuǎn)化為r方能代入上式計(jì)算。兩者換算關(guān)系為：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的連續(xù)復(fù)利投資第二年將獲106，該結(jié)果與直接用r0=0.06計(jì)算的答案一致。

第二，期權(quán)有效期T的相對(duì)數(shù)表示，即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為100天，則T=100/365=0.274。

B-S-M模型的推導(dǎo)

B-S-M模型的推導(dǎo)

B-S-M模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的，對(duì)于一項(xiàng)看漲期權(quán)，其到期的期值是:

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E[G]=E[max(ST-L，O)]

其中，

E[G]—看漲期權(quán)到期期望值

ST—到期所交易金融資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值

L—期權(quán)交割(實(shí)施)價(jià)

到期有兩種可能情況:

1、如果ST>L，則期權(quán)實(shí)施以進(jìn)帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

2、如果ST<L，則期權(quán)所有人放棄購(gòu)買權(quán)力，期權(quán)以出帳(Out-of-the-money)失效，且有:

max(ST-L，O)=0

從而：

E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

其中：P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利rT貼現(xiàn)，得期權(quán)初始合理價(jià)格:

C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權(quán)定價(jià)轉(zhuǎn)化為確定P和E[ST|ST>L]。

首先，對(duì)收益進(jìn)行定義。與利率一致，收益為金融資產(chǎn)期權(quán)交割日市場(chǎng)價(jià)格(ST)與現(xiàn)價(jià)(S)比值的對(duì)數(shù)值，即收益=1NSTS。由假設(shè)1收益服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對(duì)價(jià)格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì)：Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態(tài)分布隨機(jī)變量χ—關(guān)鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標(biāo)準(zhǔn)差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對(duì)稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因?yàn)镋[ST|ST]>L]處于正態(tài)分布的L到∞范圍，所以，E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)

其中：D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價(jià)模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)